Тригонометрические уравнения Квадратные уравнения
Некоторые тригонометрические уравнения можно свести к квадратным,
если выполнить замену.
Пример №1. Найдите корни квадратного уравнения.
8 sin 2 x − 6 sin x − 5 = 0 Пусть t = sin x 8 t 2 − 6 t − 5 = 0 D = 36 + 160 = 196 t 1 , 2 = 6 ± 196 2 ∗ 8 t 1 = 5 4 t 2 = − 1 2 sin x = 5 4 sin x = − 1 2 5 4 ∉ [ − 1 ; 1 ] ⟹ x ∈ ∅ x 1 = − π 6 + 2 π n , n ∈ Z x 2 = − 5 π 6 + 2 π n , n ∈ Z Ответ ‾ : − π 6 + 2 π n , n ∈ Z ; − 5 π 6 + 2 π n , n ∈ Z ; 8\sin^2 x - 6\sin{x} - 5 = 0 \\
\text{Пусть } t = \sin x \\
8t^2 - 6t - 5 = 0 \\
D = 36 + 160 = 196 \\
t_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{196}}{2 * 8} \\
\begin{align*}
& t_1 = \dfrac{5}{4} & \qquad & t_2 = -\dfrac{1}{2} \\
& \sin x = \dfrac{5}{4} & & \sin x = -\dfrac{1}{2} \\
& \dfrac{5}{4} \notin [-1; 1] \implies x \in \varnothing & & \boxed{x_1 = -\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \Z} \\
& & & \boxed{x_2 = -\dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \Z}
\end{align*}
\\
\begin{align*}
\text{\underline{Ответ}: } &-\frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \Z; \\
&-\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \Z;
\end{align*} 8 sin 2 x − 6 sin x − 5 = 0 Пусть t = sin x 8 t 2 − 6 t − 5 = 0 D = 36 + 160 = 196 t 1 , 2 = 2 ∗ 8 6 ± 196 t 1 = 4 5 sin x = 4 5 4 5 ∈ / [ − 1 ; 1 ] ⟹ x ∈ ∅ t 2 = − 2 1 sin x = − 2 1 x 1 = − 6 π + 2 πn , n ∈ Z x 2 = − 6 5 π + 2 πn , n ∈ Z Ответ : − 6 π + 2 πn , n ∈ Z ; − 6 5 π + 2 πn , n ∈ Z ; Бывают случаи, когда нам даны разные тригонометрические функции,
тогда следует сделать перевод той, что стоит под квадратом,
по основному тригонометрическому тождеству.
Теорема №1. Основное тригонометрическое тождество.
sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 Из него следует, что:
cos 2 x = 1 − sin 2 x sin 2 x = 1 − cos 2 x \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \\
\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \\ cos 2 x = 1 − sin 2 x sin 2 x = 1 − cos 2 x Пример №2. Найдите корни квадратного уравнения.
8 cos 2 x + 6 sin x − 3 = 0 8 ( 1 − sin 2 x ) + 6 sin x − 3 = 0 8 − 8 sin 2 x + 6 sin x − 3 = 0 8 sin 2 x + 6 sin x − 5 = 0 \begin{align*}
8 \cos^2{x} + 6 \sin{x} - 3 &= 0 \\
8 (1 - \sin^2{x}) + 6 \sin{x} - 3 &= 0 \\
8 - 8 \sin^2{x} + 6 \sin{x} - 3 &= 0 \\
8 \sin^2{x} + 6 \sin{x} - 5 &= 0
\end{align*} 8 cos 2 x + 6 sin x − 3 8 ( 1 − sin 2 x ) + 6 sin x − 3 8 − 8 sin 2 x + 6 sin x − 3 8 sin 2 x + 6 sin x − 5 = 0 = 0 = 0 = 0 Дальше смотри «Пример № 1».
Если у нас нет свободного коэффициента,
то следует вынести общий множитель в виде тригонометрической функции.
Пример №3. Найдите корни квадратного уравнения.
2 sin 2 x − 3 sin x = 0 sin x ⋅ ( 2 sin x − 3 ) = 0 sin x = 0 sin x − 3 = 0 x = π n , n ∈ Z sin x = 3 2 3 2 ∉ [ − 1 ; 1 ] ⟹ x ∈ ∅ Ответ ‾ : π n , n ∈ Z 2 \sin^2{x} - 3 \sin{x} = 0 \\
\sin{x} \cdot (2 \sin{x} - 3) = 0 \\
\begin{align*}
& \sin{x} = 0 & \qquad & \sin{x} - 3 = 0 \\
& \boxed{x = \pi n, n \in \Z} & & \sin{x} = \frac{3}{2} \\
& & & \dfrac{3}{2} \notin [-1; 1] \implies x \in \varnothing
\end{align*}
\\
\text{\underline{Ответ}: } \pi n, n \in \Z 2 sin 2 x − 3 sin x = 0 sin x ⋅ ( 2 sin x − 3 ) = 0 sin x = 0 x = πn , n ∈ Z sin x − 3 = 0 sin x = 2 3 2 3 ∈ / [ − 1 ; 1 ] ⟹ x ∈ ∅ Ответ : πn , n ∈ Z Однородные уравнения
Первой степени
Однородные уравнения первой степени имеют вид
a sin x + b cos x = 0 \boxed{a \sin x + b \cos x = 0} a sin x + b cos x = 0 cos x ≠ 0 \cos x \ne 0 cos x = 0
В данном случае можно спокойно делить на cos x \cos x cos x sin \sin sin cos \cos cos x x x cos x = 0 \cos{x} = 0 cos x = 0
Пример №4. Найдите корни квадратного уравнения.
3 sin x − cos x = 0 3 sin x − cos x = 0 ∣ : cos x ≠ 0 3 tg x − 1 = 0 3 tg x = 1 tg x = 1 3 x = arctg 1 3 + π n , n ∈ Z Ответ ‾ : arctg 1 3 + π n , n ∈ Z \begin{align*}
3 \sin x - \cos x &= 0 \\
3 \sin x - \cos x &= 0 \mid : \cos x \ne 0 \\
3 \tg x - 1 &= 0 \\
3 \tg x &= 1 \\
\tg x &= \frac{1}{3}
\end{align*}
\\
\boxed{x = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, n \in \Z} \\
\text{\underline{Ответ}: } \arctg \frac{1}{3} + \pi n, n \in \Z 3 sin x − cos x 3 sin x − cos x 3 tg x − 1 3 tg x tg x = 0 = 0 ∣: cos x = 0 = 0 = 1 = 3 1 x = arctg 3 1 + πn , n ∈ Z Ответ : arctg 3 1 + πn , n ∈ Z Второй степени
Однородные уравнения второй степени имеют вид
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 \boxed{a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0} a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 cos 2 x ≠ 0 \cos^2 x \ne 0 cos 2 x = 0